I PROBLEMI DI HILBERT E I 7 PROBLEMI DEL MILLENNIO
Sono una lista di 23 problemi matematici stilata da David Hilbert e presentata l’8 agosto 1900 nella sua conferenza del Congresso internazionale dei matematici svolta a Parigi. Tutti i problemi allora presentati erano ancora irrisolti e molti di essi hanno avuto un notevole impatto nella matematica del XX secolo. A questa conferenza, in realtà, Hilbert presentò 10 dei problemi nella lista definitiva (esattamente quelli ora numerati come 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22), mentre l’elenco completo fu pubblicato in seguito. Ispirata all’iniziativa di Hilbert è la proposta di fine XX secolo dell’Istituto matematico Clay di una lista dei cosiddetti 7 problemi per il millennio. L’ipotesi di Riemann è l’unico problema presente in entrambe le liste.
I 23 problemi di Hilbert sono:
| Problema | Breve descrizione | Stato attuale del problema |
| Problema 1 | L’ipotesi del continuo, cioè determinare se esistono insiemi la cui cardinalità è compresa tra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali. PER SAPERNE DI PIU’ |
Risoluzione parzialmente accettata Kurt Gödel e Paul Cohen hanno dimostrato che l’ipotesi non può essere né dimostrata, né confutata, dagli assiomi Zermelo-Fraenklin-Cohen. Non esiste un consenso tra matematici se ciò risolva o meno il problema. |
| Problema 2 | Si può dimostrare che l’insieme degli assiomi dell’aritmetica è consistente? |
Risoluzione parzialmente accettata La risposta al problema 2 è no, e non solo per l’aritmetica. Il Teorema di incompletezza di Gödel stabilisce infatti che la coerenza di un sistema formale abbastanza potente da generare l’aritmetica non può essere dimostrata all’interno del sistema stesso. |
| Problema 3 | Dati due poliedri dello stesso volume, è possibile tagliare entrambi nello stesso insieme di poliedri più piccoli? |
Risolto, a volte è possibile, altre no.. Max Dehn ha dimostrato nel 1902, mediante, lo sviluppo della teoria degli invarianti di Dehn n, che questo non è possibile in generale. Analogo risultato è stato raggiunto indipendentemente da W.F.Kagon nel 1903. |
| Problema 4 | Costruire tutte le metriche in cui le rette sono geodetiche. | Troppo vago |
| Problema 5 | Tutti i gruppi continui sono automaticamente gruppi differenziali? | Risoluzione parzialmente accettata |
| Problema 6 | Assiomatizzare tutta la fisica. | Troppo vago |
| Problema 7 | Dati a ≠ 0,1 algebrico e b irrazionale, il numero ab è sempre trascendente? | Risolto Parzialmente |
| Problema 8 | Dimostrare l’ipotesi di Riemann. |
Aperto. L’ipotesi di Riemann non è stata finora né confutata né provata; un tentativo di dimostrazione tra i più famosi, poi rivelatosi fallito, è stato ad opera di Louis de Branges. |
| Problema 9 | Generalizzare la legge di reciprocità in un qualunque campo numerico algebrico. |
Risoluzione parzialmente accettata. Il problema venne risolto da Emil Artin nel 1927, con il Teorema di reciprocità di Artin. |
| Problema 10 | Trovare un algoritmo che determini se una data equazione diofantea in n incognite abbia soluzione. |
La risposta negativa si deve ai lavori di Julia Robinson, Hilary Putnam e Martin Davis, e infine al Teorema di Matiyasevich, 1970 |
| Problema 11 | Classificare le forme quadratiche nel caso di coefficienti in un campo di numeri algebrico. | Risolto |
| Problema 12 | Estendere il Teorema di Kronecker-Weber sulle estensioni abeliane dei numeri razionali a estensioni abeliane di campi numerici arbitrari. | Aperto |
| Problema 13 | Risolvere l’equazione generale di settimo grado utilizzando funzioni con due soli argomenti. |
Risolto dal matematico russo Vladimir Igorevič Arnol’d nel 1957. |
| Problema 14 | Determinare se l’anello degli invarianti di un gruppo algebrico che agisce su un anello di polinomi è sempre finitamente generato. | Risolto |
| Problema 15 | Fondazione rigorosa del calcolo enumerativo di Schubert. | Risoluzione parzialmente accettata |
| Problema 16 | Topologia delle curve e superfici algebriche. | Troppo vago |
| Problema 17 | Determinare se le funzioni razionali non negative possono essere espresse come quozienti di somme di quadrati. | Risolto |
| Problema 18 | Esiste una tassellazione dello spazio anisoedrale (ovvero un insieme di poliedri adiacenti che ricoprono tutto lo spazio)? Qual è il più denso impacchettamento di sfere? | Risolto |
| Problema 19 | Le soluzioni dei problemi variazionali regolari sono sempre analitiche? |
Risolto indipendentemente da John Nash e Ennio De Giorgi nel 1957. |
| Problema 20 | Tutti i problemi variazionali con determinate condizioni al contorno hanno soluzione? | Risolto |
| Problema 21 | Dimostrazione dell’esistenza di equazioni differenziali lineari aventi un prescritto gruppo di monodromia. | Risoluzione parzialmente accettata |
| Problema 22 | Uniformizzazione delle relazioni analitiche per mezzo di funzioni automorfe. | Risoluzione parzialmente accettata |
| Problema 23 | Sviluppare ulteriormente il calcolo delle variazioni. | Troppo vago |
24° Problema di Hilbert
Mentre Hilbert preparava la lista dei problemi, ne stilò anche un altro che poi non fu incluso, riguardante criteri di semplicità e metodo generale. La scoperta dell’esistenza del problema 24 si deve a Rüdiger Thiele.
Note sui Problemi di Hilbert
Problema 2
La risposta al problema 2 è no, e non solo per l’aritmetica. Il Teorema di incompletezza di Gödel stabilisce infatti che la coerenza di un sistema formale abbastanza potente da generare l’aritmetica non può essere dimostrata all’interno del sistema stesso.
Problema 3
Dati due poliedri dello stesso volume, è possibile tagliare entrambi nello stesso insieme di poliedri più piccoli? Max Dehn ha dimostrato nel 1902, mediante lo sviluppo della teoria degli invarianti di Dehn, che questo non è possibile in generale; analogo risultato è stato raggiunto indipendentemente da W.F.Kagon nel 1903.
Problema 4
Una formulazione equivalente è la seguente: trovare tutte le geometrie (più precisamente le metriche di queste) in cui la distanza più breve tra due punti sia costituita da una linea retta. L’originale problema di Hilbert è ritenuto troppo vago per ammettere una risposta definitiva. Tuttavia dall’originale è possibile derivare la formulazione del seguente problema: trovare tutte le geometrie tali che, rispetto alla geometria euclidea, devono mantenere gli assiomi di incidenza e di ordine, devono mantenere (anche se in forma debole) quello di congruenza e devono omettere l’equivalente del postulato delle parallele. Questo problema è stato risolto da Georg Hamel.
Problema 5
Una formulazione equivalente è: possiamo evitare il requisito di differenziabilità per le funzioni che definiscono un gruppo continuo di trasformazioni? La risposta positiva è stata trovata da John von Neumann nel 1930 per i gruppi bicompatti (con ampliamento nel 1952 ai gruppi localmente compatti da parte di Andrew M. Gleason); risolto in seguito anche per quelli abeliani, e con ampliamenti di Montgomery, Zipin e Yamabe nel 1952 e 1953.[2]
Problema 6
Data la portata così generale, questo problema è rimasto tuttora irrisolto. Una parziale assiomatizzazione riguarda i postulati della meccanica quantistica, che sarebbero “completati” da una teoria della gravitazione quantistica.
Problema 7
La risposta è positiva nel caso speciale in cui b sia algebrico, come dimostrato nel 1934 da Aleksander Gelfond con il Teorema di Gelfond. Comunque, nel caso generico, il problema rimane irrisolto.
Problema 8
L’ipotesi di Riemann non è stata finora né confutata né provata; un tentativo di dimostrazione tra i più famosi, poi rivelatosi fallito, è stato ad opera di Louis de Branges.
Problema 9
Il problema venne risolto da Emil Artin nel 1927, con il Teorema di reciprocità di Artin.
Problema 10
La risposta negativa (ovvero l’impossibilità di trovare una soluzione generale) si deve ai lavori di Julia Robinson, Hilary Putnam e Martin Davis, e infine al Teorema di Matiyasevich, 1970.
Problema 12
Questa estensione è stata realizzata mediante l’utilizzo delle funzioni olomorfe in più variabili, che hanno proprietà simili alla funzione esponenziale e alle funzioni modulari ellittiche.
Problema 18
Nel 1928 Karl Reinhardt trovò un poliedro anisoedrale, ovvero in grado di tassellare lo spazio ma che non è la regione fondamentale di alcuna azione del gruppo delle simmetrie sullo spazio tassellato. Hilbert formulò la domanda riferendosi allo spazio euclideo tridimensionale in quanto riteneva probabile non esistere una tale tassellatura per il piano, mentre in realtà fu trovata nel 1935 da Heinrich Heesch.
La dimostrazione della congettura di Keplero è stata effettuata da Thomas Hales nel 1998. Sebbene già dopo la prima revisione la dimostrazione venne considerata corretta “al 99%”, la dimostrazione formale è stata terminata e verificata soltanto nel 2014.
I 7 problemi per il millennio sono:
1.- P contro NP
Il problema di P contro NP riguarda quei problemi computazionali che ammettono risposta binaria (sì o no): per ogni input il problema chiede di decidere se una proprietà è vera o meno. Un esempio è quello di decidere se due nodi di una rete sono connessi, un altro è quello di decidere se esiste una soluzione che soddisfi un insieme di equazioni. Va notato che all’algoritmo è richiesto solo di rispondere correttamente, non di fornire la soluzione.
Un problema è nella classe P se esiste un algoritmo che lo risolve utilizzando un numero di operazioni polinomiale nella lunghezza dell’input. Un problema è in NP se esiste un algoritmo che “verifica” la correttezza di una soluzione utilizzando un numero di operazioni polinomiale nella lunghezza dell’input (e quindi la lunghezza della soluzione deve essere polinomiale in quella dell’input). Si prenda ad esempio un puzzle: si può non essere in grado di mettere insieme i pezzi ma una volta che qualcuno offre una possibile soluzione è molto semplice verificare se questa è corretta o meno.
Il problema di determinare se P è uguale o meno ad NP è essenzialmente quello di capire se esistono problemi computazionali per cui è possibile “verificare” una soluzione in tempo polinomiale ma non è possibile “decidere”, sempre in tempo polinomiale, se questa soluzione esiste. Questa è una domanda molto importante per l’informatica teorica. Si veda teoria della complessità computazionale per una discussione più completa.
2.- La congettura di Hodge
La congettura di Hodge riguarda gli spazi proiettivi e le varietà algebriche. I cicli di Hodge sono delle combinazioni lineari razionali di cicli algebrici.
3. – La congettura di Poincaré – Verificata e ritenuta risolta nel 2002
In topologia, la superficie sferica a due dimensioni è caratterizzata dal fatto che è semplicemente connessa. La congettura di Poincaré dice che la sfera è l’unica superficie che è semplicemente connessa anche se la si porta a n-dimensioni con n un numero positivo maggiore di 0. Questo problema è stato risolto per tutte le dimensioni superiori a 3, risolverlo per la dimensione 3 è fondamentale per dimostrare la congettura. È stata accettata la bozza di soluzione di Grigorij Jakovlevič Perel’man nel 2002, che ha portato due ricercatori cinesi, Zhu Xiping e Cao Huaidong alla soluzione esplicita. Perel’man è stato insignito sia della Medaglia Fields[3], sia del Premio Clay di 1.000.000 di dollari, ma ha rifiutato entrambi e si è ritirato a vita privata, sembra vivendo con la madre, alla periferia di San Pietroburgo.[1]
4.,- L’ipotesi di Riemann
In teoria analitica dei numeri, l’ipotesi di Riemann o congettura di Riemann è una congettura sulla distribuzione degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann ζ(s). La sua importanza deriva dalle conseguenze che ha sulla distribuzione dei numeri primi. Questa ipotesi è stata verificata con i computer per un miliardo e mezzo di numeri primi, ma la sua verifica definitiva attraverso un teorema avrebbe profonde ripercussioni nella matematica pura come nelle applicazioni di crittologia.
5.- Teoria di Yang-Mills e gap di massa
In fisica, la teoria quantistica di Yang-Mills descrive la rottura della simmetria delle fasi primordiali dell’universo. Questa teoria segnò una rottura totale con le vecchie teorie e attualmente è un cardine del Modello standard. Il problema è dimostrare rigorosamente che:
- la teoria esista soddisfacendo alcuni tipi di assiomi fondamentali (ad esempio gli assiomi di Wightman)
- la massa della particella più leggera sia maggiore di 0 (problema del gap di massa).
Le equazioni di Navier-Stokes descrivono il comportamento dei fluidi, ossia liquidi e gas. Anche se sono state formulate nel XIX secolo, non è mai stato appurato se il problema matematico che esse descrivono è ben posto e non è mai stata determinata una loro soluzione analitica in forma chiusa, tranne in alcuni casi particolari. Il problema è elaborare una teoria matematica che consenta di comprenderle ed analizzarle. Questa teoria sarebbe molto utile per gli studi di fluidodinamica.
7.- La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer riguarda un particolare tipo di curve, le curve ellittiche sui numeri razionali. Questa congettura è strettamente collegata al problema se ci sia un modo semplice per stabilire se tali equazioni abbiano un numero finito o infinito di soluzioni razionali. Il decimo problema di Hilbert era simile ma trattava delle equazioni diofantee e si è dimostrato che non si è in grado di decidere se esiste o no una soluzione.