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Felix Christian Klein (1849- 1925), nasce il 25.04.1849, a Dusseldorf. 
Era affascinato dal fatto che ogni numero della sua data di nascita è il quadrato di un numero primo (rispettivamente 5, 2 e 43). Nel 1872, a soli 23 anni, Klein fu nominato professore a Erlangen.
Nonostante i grandi contributi che egli diede sia all’Algebra che alla Geometria, ebbe una enorme notorietà per una prolusione che egli fece nel 1872, in occasione della sua nomina a professore a Erlangen, prolusione oramai nota in letteratura con il nome di Erlangen Programme (Programma di Erlangen), conferenza che influenzò profondamente lo sviluppo della Matematica
Il Programma di Erlangen fornì un approccio unificato e gruppale della geometria, approccio che oggi è accettato come standard. Le trasformazioni e i loro gruppi, giocano un ruolo fondamentale in una moderna visione della geometria e Klein mostrò come le proprietà essenziali di una data geometria potevano essere rappresentate dal gruppo delle trasformazioni che conservano tali proprietà, per ogni tipo di geometria, geometria euclidea, non euclidea, proiettiva ed oltre. Così la geometria proiettiva è relativa al gruppo delle omografie, la geometria affine al gruppo delle affinità, la geometria elementare (euclidea) è relativa al gruppo delle similitudini, la geometria metrica è relativa al gruppo delle eguaglianze o congruenze. Inoltre il gruppo delle similitudini è sottogruppo di quello affine, e l’affine è sottogruppo del proiettivo. Naturalmente le proprietà del gruppo più ampio sono proprietà anche del gruppo più piccolo. Inizialmente sembrava che la geometria metrica sfuggisse da questa catena di sottogruppi, ma oggi sappiamo che le proprietà metriche se corredate dai punti ciclici possono inquadrare la geometria metrica della geometria delle similitudini[1].
Inoltre uno spazio proiettivo si può inquadrare in un più generale spazio topologico e gli omeomorfismi di uno spazio topologico formano un gruppo ancora più vasto. I movimenti del piano di Klein, che tratteremo in questo e nei successivi paragrafi, sono le omografie che mutano il cerchio unitario in sé, formano anche loro un sottogruppo del gruppo delle omografie, ma occorre precisare il loro comportamento rispetto alle affinità. E’ dovuto a Klein la presentazione di interessanti modelli topologici 
quali la cosiddetta bottiglia di Klein, riportata in figura, superficie ad una sola faccia, che in alcune sue sezioni contiene dei nastri di Mobius.
Le equazioni parametriche della bottiglia di Klein sono abbastanza semplici:
con
F. Eugeni va sul personale. Vorrei ricordare e condividere con voi il mio primo impatto con il modello di Klein, della geometria iperbolica, ritendo questo ricordo la miglior presentazione.
Il mio professore Mario Villa, del quale parlerò nel prossimo paragrafo, andò alla lavagna e disegnò un cerchio, tracciò due corde non intersecantisi e disse “… se restringiamo la geometria, che voi conoscete, all’interno di un cerchio, è naturale chiamare rette le corde, se l’esterno è cancellato e se il nostro mondo è l’interno del cerchio…” Ora dati un punto ed una corda AB, non appartenentesi (Fig 2) esistono infinite corde per P che non incontrano la corda data, sono le corde interne all’angolo tra PA e PB (fig 3). Anche le corde PA e PB sono non secanti AB (i punti sulla circonferenza sono esclusi e sono i nostri punti all’infinito ), e noi chiamiamo parallele per P ad r le due corde PA e PB.
Pensate ora al raggio che tende all’infinito e alla circonferenza che tende alla retta impropria. Quando il raggio aumenta l’angolo di PA con PB diminuisce e si restringe ad una unica retta per il raggio che tende all’infinito…. è la geometria euclidea quando il cerchio sparisce, adagiandosi sulla retta impropria del piano!
L’importanza del modello. L’esistenza di una geometria dove sono validi tutti i postulati della geometria classica meno quello delle parallele (sono due e non una) prova che l’assioma dell’unicità della parallela è indipendente dai precedenti postulati !
[1] Si veda Villa .Lezioni di Geometria, Vol.II, capVI, par.44-45.